Question

7．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)M是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊△ABC沿過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)折疊，該直線(xiàn)與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)N，使點(diǎn)A落在直線(xiàn)BC上的點(diǎn)D處，且BD：DC=1：4，折痕為MN，則AN的長(zhǎng)為7或$\frac{65}{3}$．

Answer 1

分析 此題要分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)A落在線(xiàn)段BC上時(shí)；②當(dāng)A在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，首先證明△BMD∽△CDN．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，再設(shè)AN=x，則CN=30-x，然后利用含x的式子表示DM、BM，根據(jù)BM+DM=30列出方程，解出x的值可得答案．

解答 解：①當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，
∵△ACB是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，
∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵DN=AN，
∴得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵BD：DC=1：4，BC=10，
∴DB=2，CD=8，
設(shè)AN=x，則CN=10-x，
∴$\frac{2}{10-x}$=$\frac{DM}{x}$=$\frac{BM}{8}$，
∴DM=$\frac{2x}{10-x}$，BM=$\frac{16}{10-x}$，
∵BM+DM=30，
∴$\frac{2x}{10-x}$+$\frac{16}{10-x}$=10，
解得x=7，
∴AN=7；

②當(dāng)A在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，
與①同理可得△BMD∽△CDN．
∴得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵BD：DC=1：4，BC=10，
∴DB=$\frac{10}{3}$，CD=$\frac{40}{3}$，
設(shè)AN=x，則CN=x-10，
∴$\frac{\frac{10}{3}}{x-10}$=$\frac{DM}{x}$=$\frac{BM}{\frac{40}{3}}$，
∴DM=$\frac{10x}{3（x-10）}$，BM=$\frac{400}{9（x-10）}$，
∵BM+DM=10，
∴$\frac{10x}{3（x-10）}$+$\frac{400}{9（x-10）}$=10，
解得：x=$\frac{65}{3}$，
∴AN=$\frac{65}{3}$．
故答案為：7或$\frac{65}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似綜合題、翻折變換，關(guān)鍵是證明△BMD∽△CDN得到得$\frac{BD}{CN}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{BM}{CD}$，再利用含AN的式子表示DM、BM．