Question

18．已知拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸交x軸于H，OB=3，OC=4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，連接PA交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作y軸的垂線垂足為N，交拋物線于點(diǎn)Q，求證：4PN=3CF；
（3）在（2）的條件下，連接QH，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，連接QN，且QN=QH，過點(diǎn)N作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)G，連接PD、PG、PN，若∠QPN+$\frac{1}{2}$∠DPG=90°，求PQ的長．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）設(shè)P（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），如圖1，作PT⊥x軸于T．則OF∥PT，利用平行線截線段成比例來求相關(guān)線段的長度，繼而證得結(jié)論；
（3）如圖2，延長GN、PQ交于M，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），對稱軸x=1，Q（2-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），由坐標(biāo)求得相關(guān)線段的長度，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵OB=3，OC=4，
∴B（3、0）C（0、4），
∵B、C在拋物線上y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c，代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
則該拋物線的解析式為：y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；

（2）設(shè)P（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），
如圖1，作PT⊥x軸于T．
∵OF∥PT
∴$\frac{OF}{PT}$=$\frac{OA}{AT}$，即$\frac{OF}{-\frac{4}{3}{t}^{2}+\frac{8}{3}t+4}$=$\frac{1}{t+1}$，
∴OF=-$\frac{4}{3}$t+4，
∴CF=OC-OF=4-（-$\frac{4}{3}$t+4）=$\frac{4}{3}$t，PN=t，
∴4PN=3CF；

（3）如圖2，延長GN、PQ交于M，
∴∠M=90°，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t、-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），對稱軸x=1，
∴Q（2-t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ），
∵QN=QH，
∴M（3-2t，P（t，-$\frac{4}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+4 ）  QN=t-2、
∴G（2t-3，-$\frac{16}{3}$t²+$\frac{32}{3}$t）
∴MG=（t-1）²，MP=3t-3．
∵D（1，$\frac{16}{3}$）  DR=$\frac{4}{3}$（t-1）²，PR=t-1，
∴tan∠MPG=$\frac{4}{3}$（t-1），tan∠DPR=$\frac{4}{3}$（t-1），
∴∠DPR=∠MPG，
∵∠QPN+$\frac{1}{2}$∠DPG=90°，
∴∠DPN=90°，
∴∠RDP=∠MPN．
tan∠RDP=tan∠MPN
$\frac{PR}{DR}$=$\frac{MP}{MG}$即  $\frac{t-1}{\frac{4}{3}（t-1）^{2}}$=$\frac{-\frac{4}{3}（t+1）（t-3）}{3（t-1）}$，
解得t=1+$\frac{\sqrt{37}}{4}$，
則PQ=$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

點(diǎn)評 主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．