Question

6．如圖，正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)E，BC=nEC，以AE為邊作等腰直角三角形AEF，∠AEF=90°，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，連接DG．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，如圖①，則$\frac{EC}{GD}$=$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)n＞1時(shí)，如圖②，則$\frac{EC}{GD}$=$\sqrt{2}$，并說明理由．
（3）連接CF，如圖③，當(dāng)n=$\sqrt{2}$+1時(shí)，CF=2CE．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD=EC=1，∠ABC=∠ADC=90°，根據(jù)勾股定理求出AC，求出DG即可；
（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)GM，倍長DG至K，連FK交CD于點(diǎn)H、連接EK，證△ABE≌△EGF，推出FG=BE，AB=EG=BC，證△ADG≌△FKG，推出∠ADG=∠FKG，AD=KF=EM=AB=BC，求出DK=$\sqrt{2}$KH=$\sqrt{2}$EC即可；
（3）BC=（$\sqrt{2}$+1）CE，設(shè)CE=1，則BC=AB=EM=$\sqrt{2}$+1，求出BE=CM=FM=$\sqrt{2}$，由勾股定理求出CF即可．

解答 解：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長為1，
則AB=BC=CD=AD=EC=1，∠ABC=∠ADC=90°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{2}$，
∵G為AC中點(diǎn)，∠ADC=90°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{EC}{GD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$；
（2）是$\sqrt{2}$，
理由如下：過點(diǎn)F作FM⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)GM，倍長DG至K，連FK交CD于點(diǎn)H、連接EK，

∵∠B=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM，
∵∠B=∠M=90°，
∴在△ABE和△EMF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠M}\\{∠BAE=∠FEM}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△EGF，
∴FG=BE，AB=EG=BC，
∴CG=BE=FG，
∵G為AF中點(diǎn)，
∴AG=FG，
∵在△AGD和△FGK中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=GK}\\{∠AGD=∠FGK}\\{AG=GF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△FKG，
∴∠ADG=∠FKG，AD=KF=EM=AB=BC，
∴KF∥EG，KF=EG，
∴四邊形KFGE為矩形，
∴CH=FG=CG，
∴EC=KH=DH，
∴△DHK為等腰直角三角形，
∴DK=$\sqrt{2}$KH=$\sqrt{2}$EC，
∴$\frac{EC}{GD}=\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$；

（3）n=$\sqrt{2}$+1，
理由是：BC=（$\sqrt{2}$+1）CE，
設(shè)CE=1，則BC=AB=EM=$\sqrt{2}$+1，
所以BE=CM=FM=$\sqrt{2}$，
在Rt△FMC中，由勾股定理得：FC=2，
即CF=2CE，
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，難度偏大．