Question

4．如圖，等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=$\sqrt{6}$，⊙O與AB相切，分別交OA、OB于N、M，以PB為直角邊作等腰Rt△BPQ，點P在弧MN上由點M運動到點N，則點Q運動的路徑長為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}π$
• C． $\sqrt{3}π$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}π$

Answer 1

分析 連接OP，AQ，根據(jù)△ABO和△QBP均為等腰直角三角形，即可得出△ABQ∽△OBP，進而得到∠BAQ=∠BOP，$\frac{AQ}{OP}$=$\frac{AB}{OB}$，求得AQ=$\sqrt{6}$，根據(jù)點Q的運動軌跡為以A為圓心，AQ長為半徑，圓心角為90°的扇形的弧長，即可得到點Q運動的路徑長．

解答 解：如圖，連接OP，AQ，
設⊙O與AB相切于C，連接OC，則OC⊥AB，
∵OA=OB，∠AOB=90°，OB=$\sqrt{6}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，OP=OC=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∵△ABO和△QBP均為等腰直角三角形，
∴$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{BA}{BO}$，∠ABO=∠QBP=45°，
∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{BP}{BO}$，∠ABQ=∠OBP，
∴△ABQ∽△OBP，
∴∠BAQ=∠BOP，$\frac{AQ}{OP}$=$\frac{AB}{OB}$，即$\frac{AQ}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
∴AQ=$\sqrt{6}$，
又∵點P在弧MN上由點M運動到點N，
∴0°≤∠BOP≤90°，
∴0°≤∠BAQ≤90°，
∴點Q的運動軌跡為以A為圓心，AQ長為半徑，圓心角為90°的扇形的圓弧，
∴點Q運動的路徑長為$\frac{90×π×\sqrt{6}}{180}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}π$，
故選：D．

點評 本題主要考查了軌跡，等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應邊成比例以及對應角相等，得出點Q的運動軌跡．