Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂，若P，Q為某正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該正方形的邊均與某條坐標(biāo)軸平行（含重合），則稱P，Q互為“正方形點(diǎn)”（即點(diǎn)P是點(diǎn)Q的“正方形點(diǎn)”，點(diǎn)Q也是點(diǎn)P的“正方形點(diǎn)”）．下圖是點(diǎn)P，Q互為“正方形點(diǎn)”的示意圖．
（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），下列坐標(biāo)中，與點(diǎn)A互為“正方形點(diǎn)”的坐標(biāo)是①③．（填序號(hào)）
①（1，2）；②（-1，5）；③（3，2）．
（2）若點(diǎn)B（1，2）的“正方形點(diǎn)”C在y軸上，求直線BC的表達(dá)式；
（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)N是線段OD上一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），若點(diǎn)M，N互為“正方形點(diǎn)”，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出|x₁-x₂|=|y₁-y₂|，對(duì)照①②③的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；
（2）由點(diǎn)B的坐標(biāo)結(jié)合互為“正方形點(diǎn)”的坐標(biāo)特征，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的表達(dá)式；
（3）過點(diǎn)O、D分別作與x軸夾角為45°的直線，找出點(diǎn)O、D對(duì)應(yīng)的“正方形點(diǎn)”的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（x₁，y₁）、點(diǎn)Q（x₂，y₂）互為“正方形點(diǎn)”，
∴|x₁-x₂|=|y₁-y₂|．
∵|2-1|=|3-2|，|-1-2|≠|(zhì)5-3|，|3-2|=|2-3|，
∴與點(diǎn)A互為“正方形點(diǎn)”的坐標(biāo)是①（1，2）；③（3，2）．
故答案為：①③．
（2）∵點(diǎn)B（1，2）的“正方形點(diǎn)”C在y軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），（0，3），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的表達(dá)式為y=x+1或y=-x+3．
（3）過點(diǎn)O、D分別作與x軸夾角為45°的直線，如圖所示．
∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)N是線段OD上一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)M，N互為“正方形點(diǎn)”，
∴點(diǎn)D的正方形點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3），（2，-3），點(diǎn)O的正方形點(diǎn)坐標(biāo)是（2，2），（2，-2），
∴2≤m≤3或-3≤m≤-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相交或平行問題、正方形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)找出|x₁-x₂|=|y₁-y₂|；（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)找出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）分別找出點(diǎn)O、D的正方形點(diǎn)坐標(biāo)．