Question

13．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠APB=60°，連接PO并延長與⊙O交于C點(diǎn)，連接AC，BC．
（1）求證：四邊形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AO，BO，根據(jù)PA、PB是⊙O的切線，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，由三角形的內(nèi)角和得到∠AOP=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到結(jié)論；
（2）連接AB交PC于D，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四邊形ACBP是菱形；
（2）連接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴PD=$\frac{3}{2}$，
∴PC=3，AB=$\sqrt{3}$，
∴菱形ACBP的面積=$\frac{1}{2}$AB•PC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．