Question

5．已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．
（1）直線BF⊥CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖①），求證：AE=CG；
（2）直線AH⊥CE于點(diǎn)H，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

分析 （1）先證出∠ACE=∠CBG，再由ASA證明△ACE≌△CBG，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；
（2）先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△BCE≌△ACM，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可

解答 （1）證明：∵AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACE=90°-∠BCF，
∵BF⊥CE，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBG=90°-∠BCF，
∴∠ACE=∠CBG，
在△ACE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG=45°}\\{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（2）解：CM=BE；理由：
∵CD⊥AB，AH⊥CE，
∴∠CDE=∠CHM=90°，
∴∠DCE+∠CEB=90°，∠DCE+∠CMA=90°，
∴∠CEB=∠CMA，
在△BCE和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACM=45°}\\{∠CEB=∠CMA}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACM（AAS），
∴CM=BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．