Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E．F．G．H分別為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)E．F．G．H，
（1）試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論．
（2）如果四邊形ABCD是矩形，則四邊形EFGH是什么形狀？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線得到HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，推出EF=GH，EF∥GH，根據(jù)平行四邊形的判定求出即可．
（2）由三角形中位線定理得到FE=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$BD，則由矩形的對角線相等易推知平行四邊形EFGH的鄰邊相等，故平行四邊形EFGH是菱形．

解答 解：（1）四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：
∵四邊形ABCD各邊中點(diǎn)是E、F、G、H，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）如果四邊形ABCD是矩形，則四邊形EFGH是菱形．理由如下：
由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形．
∵E、F分別是AB、BC邊上的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴FE=$\frac{1}{2}$AC，
同理，EH=$\frac{1}{2}$BD，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴EF=EH，
∴平行四邊形EFGH是菱形．

點(diǎn)評 本題主要考查對平行四邊形的判定，三角形的中位線，平行公理及推論等知識點(diǎn)的理解和掌握，能推出EF=GH和EF∥GH是解此題的關(guān)鍵．