Question

5．如圖，直線y=$\frac{2}{3}$x+4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （-3，0）
• B． （-6，0）
• C． （-$\frac{3}{2}$，0）
• D． （-$\frac{5}{2}$，0）

Answer 1

分析 （方法一）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C、D′的坐標(biāo)求出直線CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（方法二）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出點(diǎn)D′的坐標(biāo)，根據(jù)三角形中位線定理即可得出點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn)，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（方法一）作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖所示．

令y=$\frac{2}{3}$x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
令y=$\frac{2}{3}$x+4中y=0，則$\frac{2}{3}$x+4=0，解得：x=-6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（-3，2），點(diǎn)D（0，2）．
∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，-2）．
設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b，
∵直線CD′過(guò)點(diǎn)C（-3，2），D′（0，-2），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=-3k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線CD′的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-2．
令y=-$\frac{4}{3}$x-2中y=0，則0=-$\frac{4}{3}$x-2，解得：x=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0）．
故選C．
（方法二）連接CD，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD值最小，如圖所示．
令y=$\frac{2}{3}$x+4中x=0，則y=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）；
令y=$\frac{2}{3}$x+4中y=0，則$\frac{2}{3}$x+4=0，解得：x=-6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）．
∵點(diǎn)C、D分別為線段AB、OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C（-3，2），點(diǎn)D（0，2），CD∥x軸，
∵點(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)O為線段DD′的中點(diǎn)．
又∵OP∥CD，
∴點(diǎn)P為線段CD′的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱(chēng)中最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P的位置．