Question

10．如圖，已知拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，$\frac{2}{3}$）、點(diǎn)B（9，-10），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線BC交于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，作∠PCB的角平分線，交拋物線于點(diǎn)F．
①求點(diǎn)P和點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②在直線CF上是否存在點(diǎn)Q，使得以F、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCF相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，$\frac{2}{3}$）、點(diǎn)B（9，-10），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)直線BC為：y=-x-1，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1），則E（m，-m-1），進(jìn)而得到PE=-$\frac{1}{3}$m²+2m-1-（-m-1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，最后根據(jù)四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積，求得點(diǎn)P坐標(biāo)為$（\frac{9}{2}，\frac{5}{4}）$；
（3）①根據(jù)∠PCB=90°，CF平分∠PCB，可得∠BCF=45°，進(jìn)而得出CF∥x軸，則當(dāng)y=-1時(shí)，-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1，解得F（6，-1），再根據(jù)直線CP為：y=x-1，可得當(dāng)x-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1時(shí)，可得P（3，2）；
②根據(jù)直線CB：y=-x-1，直線PF：-x+5，可得CB∥PF，即可得到∠BCF=∠PFC=45°，故在直線CF上存在滿足條件的點(diǎn)Q，再設(shè)Q（t，-1），由題可得CF=6，CB=9$\sqrt{2}$，PF=3$\sqrt{2}$，最后分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)△PFQ₁∽△BCF時(shí)，當(dāng)△PFQ∽△FCB時(shí)，分別求得t的值，即可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，-1）或（-3，-1）．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，$\frac{2}{3}$）、點(diǎn)B（9，-10），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}×25+5b+c}\\{-10=-\frac{1}{3}×81+9b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1；

（2）由拋物線可得，C（0，-1），B（9，-10），
∴直線BC為：y=-x-1，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1），則E（m，-m-1），
∴PE=-$\frac{1}{3}$m²+2m-1-（-m-1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m，
∴四邊形AECP的面積=△APE面積+△CPE面積
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）×m+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{3}$m²+3m）×（5-m）
=$\frac{5}{2}$（-$\frac{1}{3}$m²+3m）
=-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{15}{2}$m，
=-$\frac{5}{6}$（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{135}{8}$，
∴當(dāng)m=$\frac{9}{2}$時(shí)，-$\frac{1}{3}$m²+2m-1=$\frac{5}{4}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為$（\frac{9}{2}，\frac{5}{4}）$；

（3）①過(guò)點(diǎn)B作BH⊥y軸于H，
∵C（0，-1），B（9，-10），
∴CH=BH=9，
∴∠BCH=45°，
∵∠PCB=90°，CF平分∠PCB，
∴∠BCF=45°，
∴∠FCH=90°，即CF∥x軸，
當(dāng)y=-1時(shí)，-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1，
解得x₁=0，x₂=6，
∴F（6，-1），
∵CP⊥CB，C（0，-1），
∴直線CP為：y=x-1，
當(dāng)x-1=-$\frac{1}{3}$x²+2x-1時(shí)，解得x₁=0，x₂=3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=2，
∴P（3，2）；

②∵直線CB：y=-x-1，直線PF：y=-x+5，
∴CB∥PF，
∴∠BCF=∠PFC=45°，
∴在直線CF上存在滿足條件的點(diǎn)Q，
設(shè)Q（t，-1），
由題可得CF=6，CB=9$\sqrt{2}$，PF=3$\sqrt{2}$，
（ⅰ）如圖所示，當(dāng)△PFQ₁∽△BCF時(shí)，
$\frac{CF}{F{Q}_{1}}$=$\frac{BC}{PF}$，即$\frac{6}{6-t}$=$\frac{9\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
解得t=4，
∴Q₁（4，-1）；
（ⅱ）如圖所示，當(dāng)△PFQ∽△FCB時(shí)，
$\frac{CF}{FP}$=$\frac{BC}{{Q}_{2}F}$，即$\frac{6}{3\sqrt{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{6-t}$，
解得t=-3，
∴Q₂（-3，-1）．
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，-1）或（-3，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問(wèn)時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想．