Question

7．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F是AD上的點(diǎn)，且AE=EF=FD．連接BE、BF，使它們分別與AO相交于點(diǎn)G、H．
（1）求EG：BG的值；
（2）求證：AG=OG；
（3）設(shè)AG=a，GH=b，HO=c，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=$\frac{1}{2}$AC，AD=BC，AD∥BC，從而可得△AEG∽△CBG，由AE=EF=FD可得BC=3AE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求出EG：BG的值；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GC=3AG，則有AC=4AG，從而可得AO=$\frac{1}{2}$AC=2AG，即可得到GO=AO-AG=AG；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=$\frac{1}{4}$AC，AH=$\frac{2}{5}$AC，結(jié)合AO=$\frac{1}{2}$AC，即可得到a=$\frac{1}{4}$AC，b=$\frac{3}{20}$AC，c=$\frac{1}{10}$AC，就可得到a：b：c的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC，AD=BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴$\frac{EG}{GB}$=$\frac{AG}{GC}$=$\frac{AE}{BC}$．
∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，
∴GC=3AG，GB=3EG，
∴EG：BG=1：3；

（2）∵GC=3AG（已證），
∴AC=4AG，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=2AG，
∴GO=AO-AG=AG；

（3）∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，AF=2AE．
∵AD∥BC，
∴△AFH∽△CBH，
∴$\frac{AH}{HC}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{2AE}{3AE}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{2}{5}$，即AH=$\frac{2}{5}$AC．
∵AC=4AG，
∴a=AG=$\frac{1}{4}$AC，
b=AH-AG=$\frac{2}{5}$AC-$\frac{1}{4}$AC=$\frac{3}{20}$AC，
c=AO-AH=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{2}{5}$AC=$\frac{1}{10}$AC，
∴a：b：c=$\frac{1}{4}$：$\frac{3}{20}$：$\frac{1}{10}$=5：3：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、合比性質(zhì)等知識(shí)，由兩直線平行聯(lián)想到三角形相似，從而得到邊成比例，是常用的一種方法，應(yīng)熟練掌握．