Question

15．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)α=0°時(shí)，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；②當(dāng)α=180°時(shí)，$\frac{AE}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）拓展探究
試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，$\frac{AE}{BD}$的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
（3）問(wèn)題解決
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少．
②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少即可．
（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)$\frac{EC}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出$\frac{AE}{BD}$的值是多少，進(jìn)而判斷出$\frac{AE}{BD}$的大小沒(méi)有變化即可．
（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時(shí)；②點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時(shí)；然后分類討論，求出線段BD的長(zhǎng)各是多少即可．

解答 解：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}=\sqrt{{（8÷2）}^{2}{+8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，
∴$AE=4\sqrt{5}÷2=2\sqrt{5}，BD=8÷2=4$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

②如圖1，，
當(dāng)α=180°時(shí)，
可得AB∥DE，
∵$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BD}$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}、\frac{\sqrt{5}}{2}$．

（2）如圖2，，
當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，$\frac{AE}{BD}$的大小沒(méi)有變化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{EC}{DC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

（3）①如圖3，，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}{-CD}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}=\sqrt{80-16}=8$，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴$BD=AC=4\sqrt{5}$．

②如圖4，連接BD，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{{AC}^{2}{-CD}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}{-4}^{2}}=\sqrt{80-16}=8$，
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，
∴DE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×（8÷2）=\frac{1}{2}×4$=2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
$\frac{AE}{BD}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\frac{6}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述，BD的長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了線段長(zhǎng)度的求法，以及矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．