Question

20．如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）求直線AB與x軸的交點C的坐標(biāo)及△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）因為A（-4，n）、B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個交點，利用待定系數(shù)法，將點B（2，-4）代入反比例函數(shù)關(guān)系式求出k的值，再將A的橫坐標(biāo)代入，求出A的縱坐標(biāo)，然后將A、B點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=kx+b，組成二元一次方程組，求出一次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）根據(jù)圖象，觀察一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值，從而確定x的取值范圍．
（3）求出交點C的坐標(biāo)，S_△AOB=S_△AOC+S_△COB．

解答 解：（1）把B（2，-4）代入反比例函數(shù) y=$\frac{m}{x}$得到：-4=$\frac{m}{2}$，解得m=-8．
故所求反比例函數(shù)關(guān)系式為：y=-$\frac{8}{x}$，
∵點A（-4，n）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴n=-$\frac{8}{-4}$，n=2，
∴點A的坐標(biāo)為（-4，2），
由點A（-4，2）和點B（2，-4）都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴反比例函數(shù)的解析式為 y=-$\frac{8}{x}$，
一次函數(shù)的解析式為y=-x-2．

（2）由圖象可得，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值得x的取值范圍是：x＞2或-4＜x＜0．

（3）根據(jù)（1）中的直線的解析式y(tǒng)=-x-2．且直線與x軸相交于點C，則令y=0
則x=-2，
即直線與x軸的交點C的坐標(biāo)是（-2，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，主要熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．掌握數(shù)形結(jié)合的思想．