Question

10．如圖，某市郊景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過A、B兩個景點，景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點C，經(jīng)測量景點C位于景點A的北偏東30°方向，位于景點B的正北方向，且景點B位于景點A的北偏東75°方向，景點B與景點A距離為4km．
（1）求景點A與景點C的距離；
（2）為方便游客到景點游玩，景區(qū)管委會準備由景點C向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其它因素，求出這條公路的長．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）過點B作BD⊥AC于點D，先解Rt△ADB，得出AD=BD=2$\sqrt{2}$km，再解Rt△CBD，得出CD=2$\sqrt{6}$km，則AC=AD+CD；
（2）過點C作CE⊥AB于點E．解等腰直角△ACE，即可求出CE的長．

解答 解：（1）如圖，過點B作BD⊥AC于點D．
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=75°-30°=45°，AB=4km，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$km．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠BCD=30°，
∴CD=$\sqrt{3}$BD=2$\sqrt{6}$km，
∴AC=AD+CD=（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）km；
答：景點A與景點C的距離為（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）km；

（2）過點C作CE⊥AB于點E．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠CAE=45°，AC=（2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$）km，
∴CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=（2+2$\sqrt{3}$）km．
答：這條公路長為（2+2$\sqrt{3}$）km．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用-方向角問題，準確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．