Question

2．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AB=AC，⊙O的半徑等于10cm，圓心O到BC的距離為6cm，則AB的長(zhǎng)等于8$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 此題分情況考慮：當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)；當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時(shí)，根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)．

解答 解：如圖1，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，連接AO并延長(zhǎng)到BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC，O為外心，
∴AD⊥BC，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8．
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}}$=$\sqrt{{16}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{5}$（cm）；
如圖2，當(dāng)△ABC是鈍角或直角三角形時(shí)，連接AO交BC于點(diǎn)D，
在Rt△BOD中，
∵OB=10，OD=6，
∴BD=$\sqrt{{OB}^{2}-{OD}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AD=10-6=4，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=$\sqrt{{BD}^{2}+{AD}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$（cm）．
故答案為：8$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．