Question

14．如圖，在△ABC中，點D、E在BC上，且BD=EC=$\frac{1}{5}$BC，F(xiàn)在AC上，且AF=$\frac{2}{3}$AC，BF與AD、AE分別交于點G、H，若△ABC的面積為1155，求：
（1）$\frac{AH}{HE}$的值；
（2）四邊形GHED的面積的值．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，首先證明CF=5CK（設(shè)CK為λ），進而證明AF=10λ，F(xiàn)K=4λ；運用平行線分線段成比例定理即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線；運用相似三角形的性質(zhì)求出$\frac{HM}{EN}、\frac{AG}{DG}$的值，進而求出$\frac{{S}_{△GEH}}{{S}_{△AGH}}、\frac{{S}_{△DEG}}{{S}_{△AGH}}$的值；求出$\frac{{S}_{四邊形GHED}}{{S}_{△ADE}}$的值；運用已知條件求出S_△SDE的值，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖，過點E作EK∥BF，過點D作DL∥AC；連接GE；
則$\frac{CK}{CF}=\frac{CE}{CB}$，而CE=$\frac{1}{5}BC$，
∴CF=5CK（設(shè)CK為λ）；而AF=$\frac{2}{3}$AC，
∴AF=10λ，F(xiàn)K=4λ；而HF∥EK，
∴$\frac{AH}{HE}=\frac{AF}{FK}=\frac{10λ}{4λ}=\frac{5}{2}$．

（2）過點D作DL∥AC；連接GE；
分別過點E、H作EN⊥AD、HM⊥AD；
則NE∥HM，△AHM∽△AEN，
∴$\frac{HM}{EN}=\frac{AH}{AE}=\frac{5}{7}$；而DL∥AC，
∴△BDL∽△BCF，△DGL∽△AGF，
$\frac{DL}{CF}=\frac{BD}{BC}$①，$\frac{AF}{DL}=\frac{AG}{DG}$②，
由①×②得：$\frac{AF}{CF}=\frac{BD}{BC}×\frac{AG}{DG}$③；
∵AF=$\frac{2}{3}$AC，BD=$\frac{1}{5}$BC，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{2}{1}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{5}$，代入③式，
解得：$\frac{AG}{DG}$=10，
∴$\frac{{S}_{△DGE}}{{S}_{△AGH}}=\frac{\frac{1}{2}DG•EN}{\frac{1}{2}AG•HM}$=$\frac{DG}{AG}×\frac{EN}{HM}$
=$\frac{1}{10}×\frac{7}{5}$=$\frac{7}{50}$；
∵△GEH、△AGH的底在同一條直線上，且等高，
∴面積之比等于底邊長之比，
∴$\frac{{S}_{△GEH}}{{S}_{△AGH}}=\frac{HE}{AH}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{S}_{四邊形GHED}}{{S}_{△AGH}}=\frac{7}{50}+\frac{2}{5}$=$\frac{27}{50}$，
∴${S}_{四邊形GHED}=\frac{27}{77}×{S}_{△ADE}$；
∵△ABC、△ADE的底在同一條直線上，且等高，
∴面積之比等于底邊長之比；
∵BD=EC=$\frac{1}{5}$BC，
∴DE=$\frac{3}{5}BC$，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}=\frac{DE}{BC}=\frac{3}{5}$；而S_△ABC=1155，
∴S_△ADE=693．
∴S_{四邊形GHED}=$\frac{27}{77}×693$=243．

點評 該題以三角形為載體，以面積與等積變換、相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的面積公式等幾何知識點為考查的核心構(gòu)造而成；解題的方法是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定及其性質(zhì)、三角形的面積公式等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．