Question

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．點(diǎn)C是拋物線在第四象限部分上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸交于D，且AD=CD．

（1）求b，c的值；
（2）求直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖2，點(diǎn)E是 線段AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F．
①若以點(diǎn)E、F、D、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②以點(diǎn)A、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b、c的值；
（2）設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)G，則可求得G點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；
（3）①設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出EF的長，則題意可知EF=CD，則可得到關(guān)于E點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；②由①中利用EF的長表示出四邊形AEBF的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$；

（2）如圖1，設(shè)直線AC與y軸交于點(diǎn)G，

∵CD⊥x軸交于D，且AD=CD，
∴∠OAG=45°，
∴OG=OA=1，
∴G（0，-1），
∴可設(shè)直線AC解析式為y=kx-1，
把A（-1，0）代入可得-k-1=0，解得k=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x-1；

（3）①由（1）可知拋物線解析式為y=-x²+2x+3，
聯(lián)立直線AC與拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴C（4，-5），
∴CD=5，
∵點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)A、C除外），且EF⊥x軸，
∴可設(shè)E（t，-t-1）（-1＜t＜4），則F（t，-t²+2t+3），
∴EF=-t²+2t+3-（-t-1）=-t²+3t+4，
∵CD⊥x軸，
∴EF∥CD，
∴當(dāng)四邊形EFDC為平行四邊形時，則有EF=CD=5，即-t²+3t+4=5，解得t=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$）；
②如圖2，

則S_{四邊形AEBF}=S_△ABE+S_△ABF=$\frac{1}{2}$AB•EF=$\frac{1}{2}$×4（-t²+3t+4）=-2（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∵-2＜0，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形AEBF}有最大值$\frac{25}{2}$，
即以點(diǎn)A、E、B、F為頂點(diǎn)的四邊形的面積存在最大值，其最大值為$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求得直線AC與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用E的坐標(biāo)表示出EF的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．