Question

19．按要求解下列一元二次方程：
（1）2x²-3x-5=0（公式法）；
（2）2x²+2x-1=0（配方法）；
（3）已知a，b是一元二次方程x²+10x+2=0兩根，求$\sqrt{\frac{a}}$+$\sqrt{\frac{a}}$的值；
（4）求方程3x²-4x+k=0兩實(shí)數(shù)根之積的最大值．

Answer 1

分析 （1）確定a，b，c的值，計(jì)算判別式，利用求根公式求出方程的根；
（2）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并后，開方即可求出解；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之積與兩根之和的值，然后將$\sqrt{\frac{a}}$+$\sqrt{\frac{a}}$化簡成兩根之積與兩根之和的形式，最后代入兩根之積與兩根之和的值進(jìn)行計(jì)算；
（4）先根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件，得到根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，先表示出x₁•x₂，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：（1）2x²-3x-5=0，
∵a=2，b=-3，c=-5，
∴△=9+40=49，
∴x=$\frac{3±\sqrt{49}}{2×2}$=$\frac{3±7}{4}$，
∴x₁=$\frac{5}{2}$，x₂=-1；

（2）2x²+2x-1=0；
方程變形得：x²+x=$\frac{1}{2}$，
配方得：x²+x+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，即（x+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{4}$，
開方得：x+$\frac{1}{2}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程x²+10x+2=0的兩實(shí)數(shù)根，
∴a+b=-10，ab=2；
∴$\sqrt{\frac{a}}$+$\sqrt{\frac{a}}$=$\frac{\sqrt{ab}}$+$\frac{\sqrt{ab}}{a}$=$\frac{（a+b）\sqrt{ab}}{ab}$=$\frac{-10\sqrt{2}}{2}$=-5$\sqrt{2}$；

（4）∵方程3x²-4x+k=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=16-12k≥0，
解得k≤$\frac{4}{3}$；
設(shè)x₁，x₂為方程的兩實(shí)數(shù)根，則x₁•x₂=$\frac{k}{3}$，
∵$\frac{1}{3}$＞0，
∴x₁•x₂隨k的增大而增大．
∵k≤$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)k取最大值$\frac{4}{3}$時(shí)，x₁•x₂有最大值，
此時(shí)x₁•x₂=$\frac{1}{3}$×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用公式法與配方法求一元二次方程的根，根的情況與判別式△的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系及一次函數(shù)的性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題型，比較簡單．
用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b²-4ac的值（若b²-4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；③在b²-4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．
用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)：（1）k＞0，y隨x的增大而增大；（2）k＜0，y隨x的增大而減小．