Question

6．圖1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖2所示，等腰直角三角形AEF的斜邊EF過點(diǎn)C，M為EF的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)x=3時(shí)，EC＜EM
• B． 當(dāng)x=9時(shí)，EC＜EM
• C． 當(dāng)x增大時(shí)，BE•DF的值不變
• D． 當(dāng)x增大時(shí)，EC•CF的值增大

Answer 1

分析 由于等腰直角三角形AEF的斜邊EF過C點(diǎn)，則△BEC和△DCF都是直角三角形；觀察反比例函數(shù)圖象得反比例解析式為y=$\frac{9}{x}$；當(dāng)x=3時(shí)，y=3，即BC=CD=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CE=3$\sqrt{2}$，CF=3$\sqrt{2}$，則C點(diǎn)與M點(diǎn)重合；當(dāng)x=9時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)的解析式得x=1，即BC=9，CD=1，所以EF=10$\sqrt{2}$，而EM=5$\sqrt{2}$；利用等腰直角三角形的性質(zhì)BE•DF=BC•CD=xy，然后再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得BE•DF=9，其值為定值；由于EC•CF=$\sqrt{2}$x×$\sqrt{2}$y=2xy，其值為定值．

解答 解：因?yàn)榈妊�直角三角形AEF的斜邊EF過C點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；觀察反比例函數(shù)圖象得x=3，y=3，則反比例解析式為y=$\frac{9}{x}$．
A、當(dāng)x=3時(shí)，y=3，即BC=CD=3，所以CE=$\sqrt{2}$BC=3$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{2}$CD=3$\sqrt{2}$，C點(diǎn)與M點(diǎn)重合，則EC=EM，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、當(dāng)x=9時(shí)，y=1，即BC=9，CD=1，所以EC=9$\sqrt{2}$，EF=10$\sqrt{2}$，EM=5$\sqrt{2}$，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、因?yàn)锽E•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不變，所以C選項(xiàng)正確；
D、因?yàn)镋C•CF=$\sqrt{2}$x•$\sqrt{2}$y=2×xy=18，所以，EC•CF為定值，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：先根據(jù)幾何性質(zhì)得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用函數(shù)解析式和函數(shù)性質(zhì)畫出其函數(shù)圖象，注意自變量的取值范圍．