Question

5．已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E是AB上一點．
（1）如圖1，點F在AB上，CF=CE，求證：BE=AF．
（2）如圖2，點P在AC的延長線上，PB=PE，ED⊥AC于D，求證：CP=AD；
（3）如圖3，AE=AC，點O為AB的中點，點N在BC上，BN=2EO，求證：NE⊥AB．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC為等腰直角三角形，且AC=BC，得到∠A=∠B=45°，根據(jù)CE=CF，利用等邊對等角得到一對角相等，利用三角形外角性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形BCE與三角形ACF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）由PB=PE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由圖形及外角性質(zhì)得到∠PBC=∠EPD，由一對直角相等，利用AAS得到三角形PBC與三角形PED全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到PC=ED，再由三角形AED為等腰直角三角形，得到ED=AD，等量代換即可得證；
（3）連接CO，由三角形ABC為等腰直角三角形，O為AB的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OB=OC=OA，設(shè)OB=1，表示出AB，BE，BN，得出對應(yīng)邊成比例且夾角相等，確定出三角形BEN與三角形ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)角相等得到∠BEN為直角，利用垂直的定義即可得證．

解答 證明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF，∠CFE分別為△BCE與△ACF的外角，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴BE=AF；
（2）∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∵∠PBE=∠PBC+∠ABC，∠PEB=∠A+∠EPD，∠ABC=∠A=45°，
∴∠PBC=∠EPD，
在△PBC和△EPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠EPD}\\{∠BCP=∠PDE=90°}\\{PB=PE}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EPD（AAS），
∴CP=ED，
∵△AED為等腰直角三角形，
∴ED=AD，
∴CP=AD；
（3）連接OC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB，
∴∠B=∠A=45°，BO=CO=AO，
設(shè)BO=1，則AE=AC=BC=$\sqrt{2}$，BN=2EO=2（$\sqrt{2}$-1），BE=2-$\sqrt{2}$，
∴BE：BC=BN：BA=$\sqrt{2}$-1，
∵∠B=∠B，
∴△BEN∽△BCA，
∴∠BEN=∠BCA=90°，
則NE⊥AB．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．