Question

16．閱讀下列內(nèi)容：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，
…
$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
請完成下面的問題：
（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
（2）試求$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)給定分數(shù)間的關(guān)系，將其代入算式$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$中，消元后即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)給定的算式可找出$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$），將其代入算式$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$中，消元后即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案為：$\frac{2014}{2015}$．
（2）∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$），
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2014}{2015}$=$\frac{1007}{2015}$．

點評 本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，根據(jù)給定材料找出$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{2013×2015}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）是解題的關(guān)鍵．