Question

6．如圖，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，點E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足為G，則：
（1）△ABF與△AGF全等嗎？說明理由；
（2）求∠EAF的度數(shù)；
（3）若AG=4，△AEF的面積是6，求△CEF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL可得出△ABF≌△AGF．
（2）只要證明∠BAF=∠GAF，∠GAE=∠DAE；所以可求∠EAF=45°．
（3）設(shè)FC=x，EC=y，則BF=4-y，DE=4-y，構(gòu)建方程組，求出xy即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：△ABF≌△AGF．
理由：在Rt△ABF與Rt△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△AGF，

（2）∵△ABF≌△AGF
∴∠BAF=∠GAF，
同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；
即∠EAF=∠EAD+∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
故∠EAF=45°．

（3）∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$×EF×AG，AG=4
∴6=$\frac{1}{2}$×EF×AG，
∴EF=3，
∵BF=FG，EG=DE，AG=AB=BC=CD=4，設(shè)FC=x，EC=y，則BF=4-x，DE=4-y，
∵BF+DE=FG+EG=EF=3，
∴4-x+4-y=3，
∴x+y=5   ①
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+FC²，
∴x²+y²=3²     ②
①²-②得到，2xy=16，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$xy=4．

點評 主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題，學(xué)會整體今天的數(shù)學(xué)思想，屬于中考�？碱}型．