Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，點A、B、E在坐標(biāo)軸上，已知點B、E關(guān)于x軸對稱，且點E在線段AB的垂直平分線上．
（1）求∠OBA的度數(shù)；
（2）如圖2，點C在OA上，OC=OB，點C、點F關(guān)于AB軸對稱，①請畫出點F，②記點F的橫坐標(biāo)為m，AC=a，AB=b，請?zhí)骄縨、a、b之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，點D在OC上，滿足∠OBD=∠ABC，求證：CD=CA．

Answer 1

分析 （1）連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明△ABE是等邊三角形，得到答案；
（2）①根據(jù)題意作圖即可；
②連接AF，作FH⊥AC于H，證明△ACF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算即可；
（3）證明△BDC∽△ADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）連接AE，
∵OB=OE，OA⊥BE，
∴OA是BE的垂直平分線，
∴AB=AE，
∵點E在線段AB的垂直平分線上，
∴EA=EB，
∴AB=AE=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠OBA=60°；
（2）①如圖所示，點F即為所求；
②連接AF，作FH⊥AC于H，
∵點C、點F關(guān)于AB軸對稱，
∴AF=AC，
∵∠OBA=60°，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACF=60°，
∴△ACF是等邊三角形，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，
∵∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$b，
∴OC=OB=$\frac{1}{2}$b，
∴m=$\frac{1}{2}$（b-a）；
（3）∵∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB，
∵OC=OB，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°，又∠OBD=∠ABC，
∴∠DBC=∠DAB，又∠BDC=∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=CA．

點評 本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．