Question

2．閱讀下列解題過(guò)程，然后解題：
題目：已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：設(shè)$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$=k，則x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a），
∴x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=k•0=0，∴x+y+z=0．
依照上述方法解答下列問(wèn)題：
a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a+b+c≠0，當(dāng)$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}=\frac{-a+b+c}{a}$時(shí)，求$\frac{{（{a+b}）（{b+c}）（{c+a}）}}{abc}$的值．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}=\frac{-a+b+c}{a}$=k，利用比例的性質(zhì)得到a+b-c=kc，aib+c=kb，-a+b+c=ka，將三式相加可以求得k=1，所以利用等量代換和約分可以求得所求代數(shù)式的值．

解答 解：設(shè)$\frac{a+b-c}{c}=\frac{a-b+c}=\frac{-a+b+c}{a}$=k，
所以a+b-c=kc ①，
a-b+c=kb ②，
-a+b+c=ka ③，
由①+②+③，得
a+b+c=k（a+b+c）．
∵a+b+c≠0，
∴k=1．
∴a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b．
∴$\frac{{（{a+b}）（{b+c}）（{c+a}）}}{abc}$=$\frac{2c×2a×2b}{abc}$=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了比例的性質(zhì)．解題是，涉入了一個(gè)中介k，利用比例的性質(zhì)得到a+b=2c，b+c=2a，c+a=2b，通過(guò)約分求得代數(shù)式的值．