Question

1．如圖，已知直線l∥AB，l與AB之間的距離為2．C、D是直線l上兩個動點（點C在D點的左側(cè)），且AB=CD=5．連接AC、BC、BD，將△ABC沿BC折疊得到△A′BC．下列說法：
①四邊形ABCD的面積始終為10；
②當A′與D重合時，四邊形ABDC是菱形；
③當A′與D不重合時，連接A′、D，則∠CA′D+∠BCA′=180°；
④若以A′、C、B、D為頂點的四邊形為矩形，則此矩形相鄰兩邊之和為3$\sqrt{5}$或7． 
其中正確的是（　�。�

• A． ①②④
• B． ①③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計算；
②根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC=CD，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；
③連結(jié)A′D，根據(jù)折疊性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可證明△A′CD≌△A′BD，則∠3=∠4，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到得到∠1=∠4，則根據(jù)平行線的判定得到A′D∥BC；
④討論：當∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S_△A1CB=S_△ABC=5，則S_{矩形A′CBD}=10，根據(jù)勾股定理和完全平方公式進行計算；當∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到結(jié)論．

解答 解：①∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABDC的面積=2×5=10；故①正確；

②∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∵A′與D重合時，
∴AC=CD，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴四邊形ABDC是菱形；故②正確；

③連結(jié)A′D，如圖，
∵△ABC沿BC折疊得到△A′BC，
∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，
在△A′CD和△A′BD中
$\left\{\begin{array}{l}{CA′=BD}\\{CD=BA′}\\{A′D=A′D}\end{array}\right.$，

∴△A′CD≌△A′BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A′D∥BC，
∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正確；
④設(shè)矩形的邊長分別為a，b，
當∠CBD=90°，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠BCA=90°，
∴S_△A′CB=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×5=5，
∴S_{矩形A′CBD}=10，即ab=10，
而BA′=BA=5，
∴a²+b²=25，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=45，
∴a+b=3$\sqrt{5}$，
當∠BCD=90°時，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）²=（2+5）²=49，
∴a+b=7，
∴此矩形相鄰兩邊之和為3$\sqrt{5}$或7．故④正確．
故選D．

點評 本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握平四邊形的判定與性質(zhì)以及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)；會運用折疊的性質(zhì)確定相等的線段和角．