Question

5．如圖，△ABC是半徑為2的⊙O的內(nèi)接三角形，連接OA、OB，點(diǎn)D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點(diǎn)．
（1）試判斷四邊形DEFG的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）填空：
①若AB=3，當(dāng)CA=CB時(shí)，四邊形DEFG的面積是$\frac{3}{2}$；
②若AB=2，當(dāng)∠CAB的度數(shù)為75°或15°時(shí)，四邊形DEFG是正方形．

Answer 1

分析 （1）只要證明DG=EF，DG∥EF即可解決問(wèn)題；
（2）①只要證明四邊形DEFG是矩形即可解決問(wèn)題；
②分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB或劣弧AB上兩種切線(xiàn)討論即可；

解答 解：（1）四邊形DEFG是平行四邊形．
∵點(diǎn)D、E、F、G分別是CA、OA、OB、CB的中點(diǎn)，
∴DG∥AB，DG=$\frac{1}{2}$AB，EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）①連接OC．
∵CA=CB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE=$\frac{1}{2}$OC=1，同理EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴DE⊥DG，
∴四邊形DEFG是矩形，
∴四邊形DEFG的面積=$\frac{3}{2}$．
故答案為$\frac{3}{2}$；
②當(dāng)C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形DEFG是正方形，此時(shí)∠CAB=75°，
當(dāng)C是劣弧AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形DEFG是正方形，此時(shí)∠CAB=15°，
故答案為75°或15°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓、正方形的性質(zhì)和判定、三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．