Question

4．如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上一動點，設(shè)DE=x，作AF⊥AE交CB的延長線于點F．
（1）當點E不與點C，D重合時，求證：△ADE∽△ABF；
（2）連接EF，M為EF的中點，AB=4，AD=2，當點E從D運動到C的過程中
①點M經(jīng)過的路徑是B
A．直線   B．線段    C．射線    D．圓弧
②求點M經(jīng)過的路徑的長；
③連接BM，直接寫出BM的長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，再求出∠ABF=∠D=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠DAE=∠BAF，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明；
（2）①根據(jù)E點從D點到C點，可得M點從M′到M″；
②根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得CF的長，根據(jù)勾股定理，可得M′M″的長；
③根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BF，再表示出FH，BH，然后利用勾股定理列式整理即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答 （1）證明：∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，
∴∠ABF=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=∠BAF+∠EAB=90°，
∵∠DAE+∠EAB=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
又∵∠D=∠ABF=90°，
∴△ADE∽△ABF；
（2）①點M經(jīng)過的路徑是線段，故選：B；
②如圖1：
，
△FAC∽△ABC，
$\frac{FC}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
$\frac{FC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{2}$，
FC=10，M″C=$\frac{1}{2}$FC=5，M″N=5-1=4，
M′M″=$\sqrt{M′{N}^{2}+M″{N}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
③如圖2：
，
∵△ADE∽△ABF，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{BF}{4}$，
∴BF=2x，F(xiàn)C=2+2x，F(xiàn)H=CH=1+x，
∴BH=|BF-HF|=|x-1|，
∵MH=2-$\frac{1}{2}$x，
∴在Rt△MHB中，BM²=BH²+MH²=（2-$\frac{1}{2}$x）²+（x-1）²=$\frac{5}{4}$x²-4x+5，
∴y=$\frac{5}{4}$x²-4x+5（0＜x＜4）
∵y=$\frac{5}{4}$x²-4x+5=$\frac{5}{4}$（x²-$\frac{16}{5}$x+$\frac{64}{25}$）+5-$\frac{16}{5}$=$\frac{5}{4}$（x-$\frac{8}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，
當x=$\frac{8}{5}$時，BM²有最小值$\frac{9}{5}$，
BM有最小值$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題是相似形綜合題，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，難點在于（2）作輔助線構(gòu)造出三角形的中位線．