Question

14．如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1cm/秒．設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm²．已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②（曲線OM為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①AD=BE=5；②cos∠ABE=$\frac{3}{5}$；③當(dāng)0＜t≤5時，y=$\frac{2}{5}$t²；④當(dāng)t=$\frac{29}{4}$秒時，△ABE∽△QBP；其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)圖（2）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，從而得到BC、BE的長度，再根據(jù)M、N是從5秒到7秒，可得ED的長度，然后表示出AE的長度，根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后針對各結(jié)論分析解答即可．

解答 解：根據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，
∵點(diǎn)P、Q的運(yùn)動的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①正確；

∵從M到N的變化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴cos∠ABE=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{4}{5}$，故②錯誤；

過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴PF=PBsin∠PBF=$\frac{4}{5}$t，
∴當(dāng)0＜t≤5時，y=$\frac{1}{2}$BQ•PF=$\frac{1}{2}$t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²，故③正確；

當(dāng)t=$\frac{29}{4}$秒時，點(diǎn)P在CD上，此時，PD=$\frac{29}{4}$-BE-ED=$\frac{29}{4}$-5-2=$\frac{1}{4}$，
PQ=CD-PD=4-$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∵$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{BQ}{PQ}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BQ}{PQ}$，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④正確．
綜上所述，正確的有①③④．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖（2）判斷出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．