Question

19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A（-2，0），B（0，2），C是直線AB上的一個動點（不與點A，B重合），過點C作AB的垂線，交x軸于點D．
（1）求直線AB的表達式，并直接寫出∠OAB的度數；
（2）是否存在點C，使得△ACD與△AOB全等？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數法求解可得；
（2）分點C在線段AB上、點C在線段BA延長線上和點C在AB延長線上三種情況，根據三角形全等的性質可得分別求得．

解答 解：（1）設直線AB的表達式為y=kx+b，
將點A（-2，0）、B（0，2）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的表達式為y=x+2，
∵OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠OAB=45°；

（2）如圖1，當點C在線段AB上時，

∵△AOB≌△ACD，
∴AO=AC=2，
過點C作CE⊥AO與點E，
∵∠OAB=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$，
∴OE=2-$\sqrt{2}$，
則點C的坐標為（$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$）；
如圖2，當點C在線段BA延長線上時，

∵△AOB≌△ACD，
∴AO=AC=2，
過點C作CE⊥AO與點E，
∵∠OAB=∠CAE=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$，
則OE=2+$\sqrt{2}$，
∴點C的坐標為（-2-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）；
當點C在AB延長線上，顯然△AOB與△ACD不全等；
故點C的坐標為（-2-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）或（$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查待定系數法求函數解析式及全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．