Question

16．定義：如圖1，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，若AM=2，MN=3，求BN的長；
（2）已知點(diǎn)C是線段AB上的一定點(diǎn)，其位置如圖2所示，請?jiān)贐C上畫一點(diǎn)D，使C，D是線段AB的勾股分割點(diǎn)（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫一種情形即可）；
（3）如圖3，已知點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等邊三角形，AE分別交CM，DM，DN于點(diǎn)F，G，H，若H是DN的中點(diǎn)，若AM=4，求△BMG的面積．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN即可；
（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；
于是得到結(jié)果；
（3）由H是DN的中點(diǎn)，等到DH=HN=$\frac{1}{2}$c，通過全等三角形的性質(zhì)得到DG=EN=b，MG=c-b，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{c-b}$=$\frac{a}{a+c}$，求得AM=BN=4，MN=4$\sqrt{2}$，過G作GP⊥AB于P，過E作EQ⊥AB于Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GP=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$，然后由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，
∵點(diǎn) M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$；
②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，
∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
綜上所述：BN=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$；

（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分線，并截取CF=CA；
③連接BF，并作BF的垂直平分線，交AB于D；
點(diǎn)D即為所求；如圖2所示：

（3）∵H是DN的中點(diǎn)，
∴DH=HN=$\frac{1}{2}$c，
∵△MND和△NBE均是等邊三角形，
∴∠D=∠DNE=60°，
在△DGH和△NEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DNE}\\{DH=HN}\\{∠DHG=∠NHE}\end{array}\right.$，
∴△DGH≌△NEH，
∴DG=EN=b，MG=c-b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△NEN，
設(shè)AM=a，BN=b，MN=c，
∴$\frac{c-b}$=$\frac{a}{a+c}$，
∴c²=2ab-ac+bc，
∵點(diǎn)M，N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴c²=a²+b²，
∴（a-b）²=（b-a）c，
∵b-a≠c，
∴a=b，
∴AM=BN=4，
∴MN=4$\sqrt{2}$，
過G作GP⊥AB于P，過E作EQ⊥AB于Q，
∵∠DMN=∠ENB=60°，
∴GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{GP}{EQ}$，
∵AM=4，AN=4+4$\sqrt{2}$，EQ=2$\sqrt{3}$，
∴GP=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$，
∴S_△BMG=$\frac{1}{2}$BM•GP=$\frac{1}{2}$×（4+4$\sqrt{2}$）×（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了新定義“勾股分割點(diǎn)”、勾股定理、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要證明三角形全等和三角形相似才能得出結(jié)論．