Question

18．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線的頂點(diǎn)，M為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠ACD=∠BCM時(shí)，求M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 首先證明∠ACB=90°，過C作CM⊥CD交x軸于M，由∠DCM=∠ACB=90°，推出∠DCA=∠MCB，求出直線CM的解析式即可解決問題．

解答 解：對于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2，
令x=0，得y=2，∴C（0，2），
令y=0得-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5．AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
過C作CM⊥CD交x軸于M，
∵∠DCM=∠ACB=90°，
∴∠DCA=∠MCB，
∵D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+2，
∵CM⊥CD，
∴直線CM的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+2，
令y=0，得x=-$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（-$\frac{3}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、勾股定理逆定理、兩條直線垂直k的乘積為-1等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)∠ACB=90°，求出直線CM是關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．