Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+2與x軸、y軸分別交于點A、B，與雙曲線$y=\frac{k}{x}$交于第一象限的點C（1，m）和第三象限的點H，H點的縱坐標(biāo)為-2
（1）求m和k的值；
（2）求不等式：$2x＞\frac{k}{x}-2$的解集；
（3）過x軸上的點D（3，0）作平行于y軸的直線l，分別與直線AB和雙曲線$y=\frac{k}{x}$交于點P、Q，求△APQ的面積．

Answer 1

分析 （1）先把C（1，m）代入y=2x+2可求出m，確定C點坐標(biāo)，然后把C點坐標(biāo)代入直線$y=\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象即可求得；
（3）先利用直線y=2x+2，令x=0和3，分別確定A點和P點坐標(biāo)；再通過y=$\frac{4}{x}$，令x=3，確定Q點坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式計算即可．

解答 解：（1）把C（1，m）代入y=2x+2中得m=2×1+2，解得m=4，
∴C點坐標(biāo)為（1，4），
把C（1，4）代入$y=\frac{k}{x}$得4=$\frac{k}{1}$，解得k=4；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{4}}\end{array}\right.$得x₁=-2，x₂=1，
根據(jù)圖象可知，當(dāng)-2＜x＜0或x＞1時，2x+2＞$\frac{k}{x}$，即2x＞$\frac{k}{x}$-2；

（3）∵對于y=2x+2，令x=3，則y=2×3+2=8，
得到P點坐標(biāo)為（3，8）；
令y=0，則2x+2=0，則x=-1，
得到A點坐標(biāo)為（-1，0），
對于y=$\frac{4}{x}$，令x=3，則y=$\frac{4}{3}$，
得到Q點坐標(biāo)為（3，$\frac{4}{3}$），
∴△APQ的面積=$\frac{1}{2}$AD•PQ=$\frac{1}{2}$×（3+1）×（8-$\frac{4}{3}$）=$\frac{40}{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)的解析式．也考查了與x軸垂直的直線上所有點的橫坐標(biāo)相同以及三角形面積公式．