Question

17．正方形ABCD中，點P是對角線BD的中點，過P點的直線分別交邊AD，BC于M，N，EP⊥MN交邊AB于點E．
（1）求證：AE=DM；
（2）△EMN是等腰直角三角形嗎？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先依據(jù)正方形的性質(zhì)得到AP=PD，∠EAP=∠MDP=45°，然后再證明∠APE=∠MPD，依據(jù)ASA可證明△AEP≌△DMP，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證明AE=MD；
（2）先證明△NBP≌△MDP，從而可得到NP=MP，然后依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得到NE=EM，依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可證明EM=NE，接下來，依據(jù)HL證明△AEM≌△BNE，然后可證明∠AEM+∠NEB=90°，從而可證明MEN為等腰直角三角形．

解答 解：（1）如圖連接AP．

∵點P為正方形對角線BD的中點，
∴PA=PD，∠EAP=∠MDP=45°，∠APD=90°．
∵∠EPA+∠APM=90°，∠DPM+∠MPA=90°，
∴∠APE=∠DPM．
在△AEP和△DMP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DPM}\\{AP=DP}\\{∠EAP=∠MDP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△DMP．
∴AE=MD．

（2）在△PBN和△PDM中$\left\{\begin{array}{l}{∠BPN=∠DPM}\\{BP=DP}\\{∠NBP=∠MDP}\end{array}\right.$，
∴MD=NB，PN=PM．
∴AE=NB．
又∵PE⊥MN，PN=PM，
∴EN=EM．
在Rt△BNE和Rt△AEM中$\left\{\begin{array}{l}{EN=EM}\\{AE=NB}\end{array}\right.$，
∴Rt△BNE≌Rt△AEM．
∴∠AEM=∠ENB．
∵∠ENB+∠BEN=90°，
∴∠AEM+∠BEN=90°．
∴∠MEN=90°．
又∵EM=EN，
∴△EMN為等腰直角三角形．

點評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)，找出圖中全等的三角形是解題的關(guān)鍵．