Question

8．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連接BF交AC于點(diǎn)M，連接DE、BO，若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC．求證：
（1）四邊形EBFD是菱形；
（2）BM：OE=3：2．

Answer 1

分析 （1）先證得∠ABO=∠OBF=30°，再證得OE=OF，進(jìn)而證得OB⊥EF，因?yàn)锽D、EF互相平分，即可證得四邊形EBFD是菱形；
（2）根據(jù)三角函數(shù)求得MB=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，OF=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，根據(jù)OE=OF即可求得MB：OE=3：2．

解答 解：（1）連接BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴BD也過O點(diǎn)，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
在△OBF與△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{FO=FC}\\{BF=BF}\\{OB=BC}\end{array}\right.$
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∵∠OBC=60°，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
在△AOE與△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四邊形EBFD是菱形，

（2）∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∴MB=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$，OF=$\frac{OM}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及三角函數(shù)等的知識(shí)．