Question

1．有一張?zhí)菪渭埰珹BCD，DC∥AB，∠DAB=90°，將△ADC沿AC折疊，點D恰好落在BC的中點E上（如圖①）．
（1）求證：∠DAC=∠EAB；
（2）當(dāng)上底DC=10cm時，求梯形兩腰AD、BC的長；
（3）若過E作EF⊥AB于F，現(xiàn)將這張?zhí)菪渭埰�沿AE、EF剪成三塊，然后按如圖②所示拼成四邊形HDAE（對應(yīng)部分有相同的編號），那么四邊形HDAE是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（4）請你分別在圖③、④中畫出兩條分割線（虛線），同樣將梯形紙分成三塊，然后分別拼成與圖②中的形狀相同但位置不一樣的特殊四邊形和一個正六邊形，要求仿圖②方法分別在圖③、圖④中畫出拼圖（不證明）．

Answer 1

分析 （1）由E是BC的中點，∠CEA=90°，得到AE垂直平分BC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAE=∠CAE，由折疊的性質(zhì)得∠CAE=∠DAC，于是得到結(jié)論；
（2）證得△ABC是等邊三角形，由三角函數(shù)即可的結(jié)果；
（3）四邊形HDAE是菱形，由題意和拼圖可知：點H、K、E共線，HE是四邊形HDAE的一邊，由平移得到△BFE≌△CKE，△AFE≌DKH，由折疊的性質(zhì)可知；AD=AE，推出AE=DH=AD=HE，即可證得結(jié)論；
（4）如圖所示：菱形AHED，正六邊形AFECDG即為所求．

解答 （1）證明：∵DC∥AB，∠DAB=90°，
∴∠ADC=90°，
由折疊的性質(zhì)得：∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠CEA=90°，
∵E是BC的中點，
∴AE垂直平分BC，
∴AC=AB，
∴∠BAE=∠CAE，
由折疊的性質(zhì)得：∠CAE=∠DAC，
∴∠DAC=∠EAB；

（2）解：∵CD∥AB，∠DAB=∠CDA=90°，
∴∠DAC=$\frac{1}{3}$∠DAB=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
在R_t△ADC中，∵CD=10，
∴AC=20，AD=10$\sqrt{3}$，
∴BC=AC=20cm；

（3）四邊形HDAE是菱形，
證明：由題意和拼圖可知：點H、K、E共線，HE是四邊形HDAE的一邊，△BFE≌△CKE，△AFE≌DKH，
∴KH=KE=EF，AE=DH，
∵∠EAF=30°，∠EFA=90°，
∴AE=2EF=HE，
由折疊的性質(zhì)可知；AD=AE，
∴AE=DH=AD=HE，
∴四邊形HDAE是菱形；

（4）解：如圖所示：菱形AHED，正六邊形AFECDG即為所求．

點評 本題考查了圖形的變換-折疊，平移，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．