Question

4．?dāng)?shù)學(xué)上，我們常把一次函數(shù)y=2ax+b叫做二次函數(shù)y=ax²+bx+c的“切函數(shù)”，比如：二次函數(shù)y=x²-5x+6的“切函數(shù)”就是一次函數(shù)y=2x-5．
（1）若一次函數(shù)y=2x-4是二次函數(shù)y=ax²+bx+c的“切函數(shù)”，且二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（3，0），求此二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）己知二次函數(shù)y=αx²-6x+c與它的“切函數(shù)”y=x+b的函數(shù)圖象有兩個公共點(diǎn)A，B且AB=10$\sqrt{2}$，求a，b，c的值；（3）已知二次函數(shù)y=-x²-4x+8的“切函數(shù)”圖象直線l與x釉，y軸交于C，D兩點(diǎn)，動點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$（x＞0）上，求△PCD面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的“切函數(shù)”的定義，可知a=1，b=-4，再把點(diǎn)（3，0）代入解析式即可解決問題．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意a=$\frac{1}{2}$，b=-6，根據(jù)AB=10$\sqrt{2}$，構(gòu)建方程即可解決問題．
（3）如圖，連接OP，設(shè)P（m，$\frac{8}{m}$），由S_△PCD=S_△PCO+S_△COD+S_△POD=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{m}$+$\frac{1}{2}$×4×m+$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{8}{m}$+2m+4=（$\sqrt{\frac{8}{m}}$-$\sqrt{2m}$）²+12，構(gòu)建二次函數(shù)，利用配方法即可解決問題．

解答 解：（1）由題意a=1，b=-4，
∴拋物線解析式為y=x²-4x+c，把點(diǎn)（3，0）代入可得c=-3，
∴拋物線解析式為y=x²-4x-3，
∵y=x²-4x-3=（x-2）²-7，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-7）．

（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意a=$\frac{1}{2}$，b=-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-6}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-6x+c}\end{array}\right.$消去y得x²-14x+12+2c=0，
∴x₁+x₂=14，x₁x₂=12+2c，y₁+₂=2，y₁y₂=2c-36，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=148-8c，（y₁-y₂）²=148-8c，
∵AB=10$\sqrt{2}$，
∴148-8c+148-8c=200，
∴c=6，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=-6，c=6．

（3）如圖，連接OP，設(shè)P（m，$\frac{8}{m}$），

由題意直線l的解析式為y=-2x-4，
令x=0，則y=-4，令y=0，則x=-2，
∴C（-2，0），D（0．-4），
∵S_△PCD=S_△PCO+S_△COD+S_△POD=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{m}$+$\frac{1}{2}$×4×m+$\frac{1}{2}$×2×4=$\frac{8}{m}$+2m+4=（$\sqrt{\frac{8}{m}}$-$\sqrt{2m}$）²+12，
∴當(dāng)$\sqrt{\frac{8}{m}}$=$\sqrt{2m}$時，△PCD的面積有最小值，最小值為12．
∴m=2，此時P（2，4）．
∴當(dāng)P（2，4）時，△PCD的面積最小，最小值為12．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．