Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=30°，BC=2，⊙C的半徑為1，點(diǎn)P是斜邊AB上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙C的一條切線PQ（點(diǎn)Q是切點(diǎn)），則線段PQ的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 當(dāng)PC⊥AB時(shí)，線段PQ最短；連接CP、CQ，根據(jù)勾股定理知PQ²=CP²-CQ²，先求出CP的長(zhǎng)，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：連接CP、CQ；如圖所示：
∵PQ是⊙C的切線，
∴CQ⊥PQ，∠CQP=90°，
根據(jù)勾股定理得：PQ²=CP²-CQ²，
∴當(dāng)PC⊥AB時(shí)，線段PQ最短，
∵在Rt△ACB中，∠A=30°，BC=2，∴AB=2BC=4，AC=$2\sqrt{3}$，
∴CP$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴PQ$\sqrt{{CP}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴PQ的最小值是$\sqrt{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；注意掌握輔助線的作法，注意當(dāng)PC⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵．