Question

2．半徑為R的圓內接正三角形的面積是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$R²
• B． πR²
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$R²
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，先求出正三角形的中心角及邊心距，再根據三角形的面積公式求解即可．

解答 解：如圖所示，過O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC=$\frac{360°}{3}$=120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD=$\frac{R}{2}$，BD=OB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，
∴BC=2BD=2×$\frac{\sqrt{3}R}{2}$=$\sqrt{3}$R，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$×BC×OD=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$×$\frac{R}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$，
∴S_△ABC=3×$\frac{\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²．
故選D．

點評 本題考查圓的內接正三角形的性質及等邊三角形的面積的計算．規(guī)律與趨勢：圓的內接正三角形的計算是圓中的基本計算，正三角形的相關性質則是解決這類問題的關鍵．其中，已知邊長求面積，已知高求面積等都是常見的計算．