Question

1．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，作∠EGF=90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，EF、BG的交點(diǎn)為P，求證：AF²+CE²=2GP•BG．

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和已知條件得出∠ABG=∠CBA=45°=∠ACB，BG=AG=GC，∠FGB=∠EGC，由ASA證明GFB≌△GCE，得出BF=CE，GF=GE，同理：AF=BE，由勾股定理得出AF²+CE²=BF²+BE²=EF²，得出△GEF是等腰直角三角形，因此EF²=2EG²，再證明△EGP∽△BGE，得出EG²=GP•BG，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AB=AC，
∵G是AC的中點(diǎn)，
∴∠BGC=∠BGA=90°，∠ABG=∠CBA=45°=∠ACB，BG=AG=GC，
∵∠EGF=90°，
∴∠FGB=∠EGC，
在△GFB和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGB=∠EGC}&{\;}\\{BG=CG}&{\;}\\{∠ABG=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GFB≌△GCE（ASA），
∴BF=CE，GF=GE，
同理：AF=BE，
∴AF²+CE²=BF²+BE²=EF²，
∵∠EGF=90°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∴EF²=2EG²，∠GEF=45°=∠CBG，
又∵∠EGP=∠GBE，
∴△EGP∽△BGE，
∴EG²=GP•BG，
∴AF²+CE²=2GP•BG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．