Question

3．如圖，已知等邊△ABC．
（1）請用圓規(guī)和直尺作△ABC的內(nèi)切圓（要求保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；
（2）若等邊△ABC邊長為2，求△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）分別作∠ABC和∠ACB的平分線，它們相交于點(diǎn)O，其中∠ABC的平分線交AC于D，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，OD為半徑作圓即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1而∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，則在Rt△OCD中可利用∠OCD的正切計(jì)算出OD，從而得到△ABC的內(nèi)切圓的半徑．

解答 解：（1）如圖，⊙O為所求；

（2）∵△ABC為等邊三角形，
而BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵OC平分∠ACB，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=$\frac{OD}{CD}$，
∴OD=1×tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即△ABC的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．