Question

20．如圖，矩形ABCD中，AD=3，∠CAB=30°，點P是線段AC上的動點，點Q是線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作點A關于直線CD的對稱點E，作EP⊥AC于P，交CD于點Q，此時QA+QP最短，由QA+QP=QE+PQ=PE可知，求出PE即可解決問題．

解答 解：作點A關于直線CD的對稱點E，作EP⊥AC于P，交CD于點Q．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴DQ⊥AE，∵DE=AD，
∴QE=QA，
∴QA+QP=QE+QP=EP，
∴此時QA+QP最短（垂線段最短），
∵∠CAB=30°，
∴∠DAC=60°，
在RT△APE中，∵∠APE=90°，AE=2AD=6，
∴EP=AE•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$．
故答案為3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查矩形的性質、最短問題、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是利用對稱以及垂線段最短找到點P、Q的位置，屬于中考�？碱}型．