Question

1．如圖，點(diǎn)P為線段AB上的一點(diǎn)，分別以點(diǎn)AP，BP構(gòu)造等邊三角形，連接AD和BC交于點(diǎn)Q，AD與PC交于點(diǎn)M，BC與PD交與點(diǎn)N．
（1）求證：AD=BC，并求出AD與BC的夾角∠DQB的大�。�
（2）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)ASA證明△APD≌△CPB，證明∠PBC=∠PDA，利用三角形的外角的性質(zhì)即可證得；
（2）首先證明△PBN≌△PDM，證明PM=PN．

解答 解：（1）∵△APC與△PBD為等邊三角形，
∴∠APC=∠BPD=60°，AP=PC，PB=PD，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和CPB中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=CP}\\{∠APD=∠CPB}\\{PD=PB}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PBC=∠PDA，
∴∠DQB=∠DAB+∠ABQ=∠DAB+∠ADP=∠DPB=60°；
（2）∵△APD≌△CPB．
∴∠PBN=∠PDM，
又∵△APC和△PBD都是等邊三角形，且點(diǎn)A、P、B在同一條直線上，
∴∠CPD=180°-∠APC-∠BPD=60°=∠BPD，
在△PBN和△PDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBC=∠PDM}\\{PB=PD}\\{∠CPD=∠BPD}\end{array}\right.$，
∴△PBN≌△PDM（ASA），
∴PM=PN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．