Question

1．在直角△ABC中和直角△DBE中，AB=BC，DB=EB，D在AB上，連接AE，AC．
（1）如圖1，求證：AE=CD，AE⊥CD；
（2）將圖1中的直角△DBE繞點B逆時針旋轉一個銳角，如圖2所示，問圖2中線段AE，CD的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長CD交AE于K，通過△AEB≌△CDB（SAS）得到AE=CD，∠EAB=∠DCB，根據(jù)垂直的定義即可得到結果；
（2）根據(jù)∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再證出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根據(jù)∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠KAO=90°，∠AKC=90°，即可證出AE⊥CD．

解答 證明：（1）延長CD交AE于K．
在△AEB和△CDB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠CBD=90°}\\{AB=BC}\\{BE=DB}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB（SAS），
∴AE=CD，
∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠CDB=90°，
∠ADK=∠CDB，
∴∠ADK+∠DAK=90°，
∴∠AKD=90°，
∴AE⊥CD；
（2）線段AE，CD的數(shù)量關系和位置關系仍成立：AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠KAO=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，在圖形變換中探究線段間的不變關系，關鍵是能在較復雜的圖形中找出全等的三角形．