Question

10．⊙O是半徑為1的圓，點O到直線L的距離為3，過直線L上的任一點P作⊙O的切線，切點為Q；若以PQ為邊作正方形PQRS，則正方形PQRS的面積最小為（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 連結OQ、OP，作OH⊥l于H，如圖，則OH=3，根據切線的性質得OQ⊥PQ，利用勾股定理得到PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，根據垂線段最短，當OP=OH=3時，OP最小，于是PQ的最小值為2$\sqrt{2}$，即可得到正方形PQRS的面積最小值為8．

解答 解：連結OQ、OP，作OH⊥l于H，如圖，則OH=3，
∵PQ為⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△POQ中，PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，
當OP最小時，PQ最小，正方形PQRS的面積最小，
而當OP=OH=3時，OP最小，
所以PQ的最小值為$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$，
所以正方形PQRS的面積最小值為8．
故選B．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．