Question

20．如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的一點(diǎn)，且CD=4CF．求證：∠AEF=90°．

Answer 1

分析 利用正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，設(shè)出邊長為a，進(jìn)一步利用勾股定理求得AE、EF、AF的長，再利用勾股定理逆定理判定即可．

解答 證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°．
設(shè)AB=BC=CD=DA=a，
∵E是BC的中點(diǎn)，且4CF=CD，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$a，CF=$\frac{1}{4}$a，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE²=AB²+BE²=$\frac{5}{4}$a²，
同理可得：EF²=EC²+FC²=$\frac{5}{16}$a²，AF²=AD²+DF²=$\frac{25}{16}$a²，
∵AE²+EF²=AF²，
∴△AEF為直角三角形，
∴∠AEF=90°．

點(diǎn)評 此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理、勾股定理逆定理的運(yùn)用，注意在正方形中的直角三角形的應(yīng)用．