Question

8．如圖1，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的一點，AD=BC，連結(jié)DC．以CD為邊，在∠CDB的同側(cè)作∠CDE，使得∠CDE=∠ABC，并截取DE=CD，連結(jié)AE．
（1）求證：△BDC≌△AED；并判斷AE和BC的位置，說明理由；
（2）若將題目中的條件“∠ABC=90°”改成“∠ABC=x°（0＜x＜180）”，根據(jù)圖形2
①結(jié)論“△BDC≌△AED”還成立嗎？成立（ 成立或不成立）
②試探索：當x45°時，直線AE⊥BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠CBD=90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得到Rt△BDC≌Rt△ADE，由全等三角形的性質(zhì)得到∠A=∠CBD=90°，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠C=∠ADE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到△BDC≌△AED；②如圖2，延長EA交BC于F，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBC=∠EAD然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）AE∥BC，
理由：∵∠CDE=∠ABC=90°，
∴∠CBD=90°，
在Rt△BDC與Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDC≌Rt△ADE，
∴∠A=∠CBD=90°，
∴AE∥BC；
（2）①成立，∵∠CDE=∠ABC=x°，
∴∠C+∠CDB=∠ADE+∠CDB=x°，
∴∠C=∠ADE，
在△BDC與△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AD}\\{∠C=∠ADE}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△AED，
故答案為：成立；
②如圖2，延長EA交BC于F，
∵△BDC≌△AED，
∴∠DBC=∠EAD，
∴∠FAB=∠ABF，
∴當AE⊥BC時，
即∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∴∠ABC=45°，
∴當x=45時，AE⊥BC，
故答案為：45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．