Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F在BC邊上（均不與端點(diǎn)重合），DG∥EF．將△BDG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長(zhǎng)l的取值范圍是$\frac{49}{5}$≤l＜13．．

Answer 1

分析 如圖，連接DE，作AH⊥BC于H．首先證明GF=DE=$\frac{5}{2}$，要求四邊形MNFG周長(zhǎng)的取值范圍，只要求出MG的最大值和最小值即可．

解答 解：如圖，連接DE，作AH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AB•AC=$\frac{1}{2}$•BC•AH，
∴AH=$\frac{12}{5}$，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥CB，DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∵DG∥EF，
∴四邊形DGFE是平行四邊形，
∴GF=DE=$\frac{5}{2}$，
由題意MN∥BC，GM∥FN，
∴四邊形MNFG是平行四邊形，
∴當(dāng)MG=NF=AH時(shí)，可得四邊形MNFG周長(zhǎng)的最小值=2×$\frac{12}{5}$+2×$\frac{5}{2}$=$\frac{49}{5}$，
當(dāng)G與B重合時(shí)可得周長(zhǎng)的最大值為13，
∵G不與B重合，
∴$\frac{49}{5}$≤l＜13．
故答案為$\frac{49}{5}$≤l＜13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考�？碱}型．