Question

11．如圖，在?ABCD中，O是對角線BD的中點，AD⊥BD，AB=4cm，∠BAD=60°，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線AB-BC向終點C運動，連結(jié)PO并延長交折線CD-DA于點Q，將線段PQ繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PE，連結(jié)QE，設(shè)點P的運動時間為t（s）
（1）當(dāng)PQ與?ABCD的邊垂直時，求PQ的長；
（2）直接寫出點E落在?ABCD內(nèi)部時t的取值范圍；
（3）設(shè)△PQE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)直線BQ將?ABCD的面積分成1：3的兩部分時，直接寫出△PQE與?ABCD重疊部分圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形①PQ⊥CD．②PQ⊥BC．分別求解即可．
（2）求出兩個特殊位置t的值①如圖2中，當(dāng)點E與B重合時．②如圖3中，當(dāng)點E在CD上時．即可解決問題．
（3）因為△PQE是等邊三角形，PQ=2OP，所以可以推出S_△PQE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•PQ²=$\sqrt{3}$OP²，分兩種情形①當(dāng)0＜t≤2時，②當(dāng)2＜t≤3時，只要求出OP²即可解決問題．
（4）分兩種情形①如圖6中，當(dāng)Q是CD的中點時，直線BQ將?ABCD的面積分成1：3的兩部分，此時△PQE與?ABCD重疊部分圖形是△PQE．②如圖7中，當(dāng)Q是AD中點時，直線BQ將?ABCD的面積分成1：3的兩部分，此時△PQE與?ABCD重疊部分圖形是四邊形PQDM，分別求解即可．

解答 解：（1）①如圖1中，當(dāng)PQ⊥AB時，

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠A=60°，AB=4，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2．BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∵O是BD中點，
∴OB=OD=$\sqrt{3}$，
在Rt△OPB中，∠OPB=90°，∠OBP=30°，OB=$\sqrt{3}$，
∴OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
易知△OPB≌△OQD，
∴OQ=OP，
∴PQ=2OP=$\sqrt{3}$．
②當(dāng)點P與B重合時，PQ⊥AD，易知此時PQ=BD=2$\sqrt{3}$，
綜上所述，當(dāng)PQ與?ABCD的邊垂直時，PQ=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$．

（2）①如圖2中，當(dāng)點E與B重合時，易知PQ∥AD，

∵DO=OB，
∴AP=PB，
此時t=1．
②如圖3中，當(dāng)點E在CD上時，

易證PE∥AD，PE=AD=PQ=2，
∴OQ=OP=PB=1，
∴AP=3，
此時t=$\frac{3}{2}$，
綜上所述，當(dāng)1＜t＜$\frac{3}{2}$時，點E落在?ABCD內(nèi)部．

（3）∵△PQE是等邊三角形，PQ=2OP
∴S_△PQE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•PQ²=$\sqrt{3}$OP²，
①當(dāng)0＜t≤2時，如圖4中，作OH⊥AB于H．

易知OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PH=|4-$\frac{3}{2}$-2t|，
∴OP²=OH²+PH²=$\frac{3}{4}$+（$\frac{5}{2}$-2t）²=4t²-10t+7，
∴S=4$\sqrt{3}$t²-10$\sqrt{3}$t+7$\sqrt{3}$．
②當(dāng)2＜t≤3時，如圖5中，

易知OP²=OB²+PB²=3+（2t-4）²=4t²-16t+19，
∴S=4$\sqrt{3}$t²-16$\sqrt{3}$t+19$\sqrt{3}$，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}{t}^{2}-10\sqrt{3}t+7\sqrt{3}}&{（0＜t≤2）}\\{4\sqrt{3}{t}^{2}-16\sqrt{3}t+19\sqrt{3}}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

（4）①如圖6中，當(dāng)Q是CD的中點時，直線BQ將?ABCD的面積分成1：3的兩部分，此時△PQE與?ABCD重疊部分圖形是△PQE，易知重疊部分面積是$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$．

②如圖7中，當(dāng)Q是AD中點時，直線BQ將?ABCD的面積分成1：3的兩部分，此時△PQE與?ABCD重疊部分圖形是四邊形PQDM，

易知S_{重疊部分PQDM}=S_△PEQ-S_△EDM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
綜上所述，當(dāng)直線BQ將?ABCD的面積分成1：3的兩部分時，△PQE與?ABCD重疊部分圖形的面積為$\sqrt{3}$或$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會取特殊點、特殊位置解決實際問題，所以中考壓軸題．