Question

9．如圖，向正五邊形ABCDE區(qū)域內(nèi)均勻擲點(diǎn)，落在五邊形FGHJK區(qū)域內(nèi)的概率為$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 先判斷出五邊形HGFKJ是正五邊形，進(jìn)而得出正五邊形HGFKJ∽正五邊形ACBDE，再用△HAB∽△ABE得出兩個(gè)五邊形的邊長(zhǎng)的關(guān)系即可．

解答 解：正五邊形ABCDE，
∴∠BAE=∠ABC=BCD=∠CDE∠AED=108°，AB=BC=CD=DE=AE，
∴△ABC≌△ABE，
∴AC=BE，同理：△ABH≌△△BCG≌△AJE，
∴AH=CG=JE，
∴HJ=HG，
同理：FG=FK=JK=HG，
∴五邊形HGFKJ是正五邊形，
∴正五邊形HGFKJ∽正五邊形ACBDE，
設(shè)HE=CD=a，HJ=x，
由題意，△HAB∽△ABE，
∴$\frac{a-x}{x}=\frac{a}{2a-x}$，
∴x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$
∴落在五邊形FGHJK區(qū)域內(nèi)的概率為 $\frac{{S}_{HGFKJ}}{{S}_{ABCDE}}=（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{2}$=$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$，
故答案為$\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了幾何概率的求法，利用面積比計(jì)算出幾何概率，即相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意找出五邊形的面積比是解本題的關(guān)鍵．