Question

20．已知A（-4，0），B（0，4），C（0，-4），過O作OM⊥ON交AB、AC于M、N兩點(diǎn)
①求證：OM=ON；
②連MN，MN交x軸于Q，若M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，求直線MN的函數(shù)解析式．
③在②的條件下，求△MON的面積．

Answer 1

分析 ①欲證明OM=ON，只要證明△MBO≌△NAO即可．
②求出直線AB、AC的解析式后，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
③求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)S_△MON=S_△MOQ+S_△NOQ即可解決問題．

解答 ①證明：∵OB=OA=OC=4，
∴∠MBO=∠NAO=∠OAC=∠OCA=45°，
∵∠MON=∠AOB=90°，
∴∠MOB=∠AON，
在△MBO和△NAO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠OAC}\\{∠MOB=∠AON}\\{OB=OA}\end{array}\right.$
∴△MBO≌△NAO，
∴OM=ON

②解：設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b
∵直線AB解析式y(tǒng)=x+4，直線AC的解析式為y=-x-4，
又∵M(jìn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，N點(diǎn)得橫坐標(biāo)為-3
∴點(diǎn)M（-1，3）點(diǎn)N（-3，-1）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{-3k+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=5}\end{array}\right.$
∴直線MN的解析式是y=2x+5

③設(shè)直線MN與x軸交于點(diǎn)Q，則Q（-$\frac{5}{2}$，0），
∴OQ=$\frac{5}{2}$
S_△MON=S_△MOQ+S_△NOQ
=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×1
=$\frac{15}{4}+\frac{5}{4}$
=5．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，學(xué)會利用分割法求三角形面積，屬于中考�？碱}型．